Gini kirjoitti:Mitä tarkoitat vedonlyönnin matematiikalla tässä asiassa? Ja missä jutuissa ei ole mitään järkeä? Voisitko perustella hieman kantaasi, etkä vain sanoa, että "jutuissa ei ole järkeä".
En myöskään ymmärrä kommenttiasi aiemmin, että minkä takia kohteiden pitäisi olle riippuvaisia toisistaan tuplassa tai triplassa?
OK. Selitän, mitä tarkoitan.
Vedonlyönnin matematiikalla tarkoitan sitä perusajatusta, ettei samaan riviin kannata ottaa yhtä kohdetta enempää - paitsi siinä tapauksessa, että samaan yhdistelmään pelattujen kohteiden lopputulokset riippuvat toisistaan. Pelikassan kasvun kannalta on nimittäin yleensä parasta pelata vain ja ainoastaan singlejä.
Edellinen varmaan jo vastasikin jälkimmäiseen kysymykseesi, mutta tarkennan vielä esimerkin avulla ...
Oletetaan, että vedonlyöjä saa kertoimen 2.10 sille, että kolikonheitossa tulee kruuna (klaavan kerroin on vaikkapa 1.50 - sillä ei ole niin väliä). Hän saa lyödä vetoa kolikonheitosta ainakin kahdesti, jos hän pelaa singlejä, mutta jos hän pelaa tuplan kahden ensimmäisen heiton tuloksista, ei hän saa enää ensimmäisen heiton jälkeen panostaa lisää jälkimmäiseen heittoon. Vedonlyöjä uskoo, että raha on harhaton, eli että sekä kruunan että klaavan todennäköisyys on 0.50.
Kysymys: Kannattaako vedonlyöjän pelata tupla vai singlejä vai onko sillä, kumman hän pelaa, mitään väliä?
1) Oletetaan, että vedonlyöjä pyrkii aina maksimoimaan pelikassansa kasvua eikä hänen hyötyfunktiossaan ole muita tekijöitä.
2) Pelikassan kasvu maksimoituu, kun panostus tapahtuu Kellyn kaavan mukaan:
B = (p*k-1) / (k-1), missä
B = optimaalinen panos osuutena pelikassasta
p = tn että veto osuu
k = kerroin
I) Vedonlyöjä pelaa 2 singleä:
Tällöin hänen tulee panostaa (0.5*2.1-1) / (2.1-1) ~ 4.5 % pelikassastaan molempiin vetoihin.
Koska vedon odotusarvo on 0.5*2.1 = 1.05, hänen pelikassansa kasvaa odotusarvoisesti 1.0023-kertaiseksi jokaisella vastaavalla vedolla eli 0.23 %. Kahden samanlaisen singlen jälkeen kassa on odotusarvoisesti kasvanut 0.46 %.
II) Vedonlyöjä pelaa yhden tuplan:
Tuplan kerroin on 2.1*2.1 = 4.41 ja voiton tn 0.5*0.5 = 0.25.
Tällöin vedonlyöjän tulee panostaa (0.25*4.41-1) / (4.11-1) ~ 3.3 % pelikassastaan kyseiseen tuplaan.
Jo tässä vaiheessa nähdään, että koska tuplaan on Kellyn kaavan mukaan panostettava pienempi osuus pelikassasta kuin yhteen singleen, on kyseessä huonompi vetovaihtoehto, mutta käydään esimerkki kuitenkin loppuun.
Tuplan odotusarvo on 0.25*4.41 = 1.1025 eli korkeampi kuin singlen, mutta kassa on yhden tuplan jälkeen kasvanut keskimäärin vain 1.0034-kertaiseksi (0.34 %:n kasvu).
--> Pelaamalla tässä kuvatunlaisessa tilanteessa kaksi singleä kassa kasvaa keskimäärin 0.46 %, kun tuplan pelaaminen kasvattaa kassaa keskimäärin vain 0.34 %. Tuplan odotusarvo ja tuotto per panostettu yksikkö on korkeampi kuin singleissä, mutta kassan kasvu siis hitaampi.
Yleisesti ottaen voidaan esittää seuraava yksinkertaistus: pelaamalla tuplia, triploja, kvartettaja tai suurempia yhdistelmiä, kun kohteet eivät ole toisistaan riippuvaisia pelikassan kasvu hidastuu (olettaen, että pelikohteet ylipäätään ovat ylikertoimia); vedonlyöjä saa panostettua yksikköä kohden suuremman tuoton, mutta tämä suurempi tuotto ei riitä korvaamaan riskiä, joka ilmenee entistä suurempana varianssina.
(Joku pystynee antamaan tälle myös yleisen todistuksen.)
Gini kirjoitti:
Miten otteluiden tulosten toisistaan riippuvuus vaikuttaa siihen, onko mielekästä pelata triploja tai tuplia? Monestihan tenniksen tupla tulee koottua yhdestä naisten ja yhdestä miesten ottelusta, eikä tällöin mitään riippuvuussuhdetta ole - eikä tarvitse ollakaan.
Koska singlet ovat parempia kuin tuplat ja triplat - olettaen, että kohteet ovat toisistaan riippumattomia ja että tavoitteena on maksimoida pelikassan kasvu - kannattaa pääsääntöisesti pelata singlejä. Säännöstä poikkeamiseen vaaditaan perusteeksi se, että kohteet
eivät ole toisistaan riippumattomia. Riippuvuussuhde siis tarvitsee olla - mainittujen oletusten ollessa voimassa.
Jos puretaan se oletus, että vedonlyöjän hyötyfunktiossa ei ole muuta kuin pelikassan kasvunopeuden maksimointi, voidaan ajatella, että myös muiden kuin singlejen pelaaminen voi yksittäisen pelurin näkökulmasta olla rationaalista. Mutta millainen peluri on tällöin kyseessä? Ei varmaankaan voittava peluri, tai ehkä voittava, mutta kuitenkin jonkinlainen gambleri, joka ei saavuta maksimaalista tuottoa, koska nauttii itse pelaamisesta ja vetojen jännittämisestä liikaa.
Gini kirjoitti:
Mitä tulee tenniksen ja muiden palloilulajien vedonlyöntiin, niin en osaa sanoa, kun pelaan itse vain tennis-kohteita, mutta koen triplan olevan helpompi tenniksessä, kun mahdollisia merkkejä on yhdeksän sijasta vain kuusi. Monesti tenniksen kertoimet vastaavasti pienempiä.
Niin, tässähän on jo melkein jotain järkeä ...
Kannattaa kuitenkin unohtaa, kuinka paljon niitä "merkkejä" on. Sillä, kuinka monta lopputulosvaihtoehtoa vedonlyöntikohteella on, ei ole mitään merkitystä tämän asian kannalta. Onhan tenniksessäkin mahdollista pelata eräveikkausta: siinä on yleensä neljä lopputulosvaihtoehtoa (2-0, 2-1, 0-2, 1-2) eli yksi enemmän kuin esim. jalkapallon 1x2-vedonlyönnissä! Kertoimet ja todennäköisyydet ovat ne tekijät, joilla on merkitystä. Jos tenniksessä on mahdollista pelata kahta suosikkia kertoimella 1.2 ja jalkapallossa on sama tilanne, ei kohteiden pelikelpoisuus riipu lainkaan siitä, kuinka monen muun vaihtoehdon kesken todennäköisyyskenttä jakautuu, vaan ainoastaan todennäköisyyksillä on merkitystä.
********
En enää jaksa alkaa käydä läpi sitä toista viestiäsi. Tämä varmaan selvitti asiota tarpeeksi (?).
).
...
Minikommentit