Ylikerroin.com - Parhaat veikkausvihjeet

Panostus Kellyn mukaan esim. single-kohteisiin on helppo toimenpide. Peruskaavassahan syötetään kohteen osumistodennäköisyys ja sen kerroin.

Panos = ((p*k-1)/(k-1))*A

Mutta miten lasketaan panos hyvin yleisessä tilanteessa, jossa yhdelle vedolle voi tulla todella suuri määrä eri kertoimia eri todennäköisyyksillä? Eli kertoimet ja niiden omat pistetodennäköisyydet muodostavat jakauman (jonka odotusarvo, maksimit ja minimit tiedetään). Löytyykö viisaammilta tähän vastausta, eli onko tälle peruskaavalle olemassa jokin muunnos. Tai jos ei ole muunnoskaavaa, niin miten panostuksen suuruutta kannattaisi lähteä estimoimaan?

En tiedä onko termistö oikein, pohjalla on vaan lukion pitkä matikka. Matemaatikot korjailkoon, jos on epäselvyyttä mitä tarkoitan.

En tiedä onko minusta vastaamaan tähän ylipäätään, mutta en nyt ihan ymmärtänyt mitä tarkoitat tällä skenaariolla "yhdelle vedolle suuri määrä eri kertoimia eri todennäköisyyksillä"?

A) Yhdistelmävetoa (tupla, tripla).
B) Montaa eri singleä samaan kohteeseen (Chelsea -0,5 ja -1).
C) Muuttuneita kertoimia ja arvioita (klo 9.00 Chelsea 50% 2,10 - veto ja klo 17.00 Chelsea 49% 2,20 - lisäveto)
D) Joku muu?

Kongin kumaus kirjoitti:En tiedä onko minusta vastaamaan tähän ylipäätään, mutta en nyt ihan ymmärtänyt mitä tarkoitat tällä skenaariolla "yhdelle vedolle suuri määrä eri kertoimia eri todennäköisyyksillä"?

A) Yhdistelmävetoa (tupla, tripla).
B) Montaa eri singleä samaan kohteeseen (Chelsea -0,5 ja -1).
C) Muuttuneita kertoimia ja arvioita (klo 9.00 Chelsea 50% 2,10 - veto ja klo 17.00 Chelsea 49% 2,20 - lisäveto)

Näissä on todella pieni määrä eri vaihtoehtoja

Kongin kumaus kirjoitti:D) Joku muu?

Esim. pelikone on vähän hakemani tilanteen kaltainen:

Turskaa: -1, 60%
Kirsikka: +0,2 10%
Kaksi kirsikkaa: +0,4 8%
Kolme kirsikkaa: +1 3%
jne.

Tuossakin esimerkissä jakauma ei ole kovin jatkuva eli siinä on hyppäyksiä. Tarkoitan tilannetta jossa eri kertoimia on vieläkin tiheämmässä ja yksittäisen tarkan lopputuleman todennäköisyys pieni

Älkää nyt prkl niihin kirsikoihin yms takertuko.

Okei, onhan tuo taas epäselvästi esitetty tuo asia. Yritän vielä:

Normaalissa vedonlyönnissä vaihtoehtoja on kaksi joko osuu tai ei. Osumalle on oma todennäköisyytensä ja kerroin esim. nyt 52% ja kerroin 2. Tässä on ylikerroin ja betsataan kellyn mukaan.

Esimerkiksi tuplapotissa yhtä vetoa, eli pelikierrosta kohden on useita lopputulosvaihtoehtoja. Hävitä panos, tai voittaa erilaisia summia. Esim. yhdellä kirsikalla voittaa 40 senttiä ja sillä on joku oma todennäköisyys. Kahdella kirsikalla voittaa 80 senttiä ja sillä on myös oma todennäköisyys. Erilaisia voittoja taitaa olla kymmeniä jne. Tuplapotti on huono esimerkki, koska siinä on negatiivinen odotusarvo (noin 0,90), joten kelly antaisi miinuslukeman, jos tällaiseen tilanteeseen olisi olemassa jokin muunnos tuosta peruskaavasta.

Jos leikitään, että tuplapotissa olisikin voittotaulukko sellainen että noilla voittokuvioilla voittaisi niin paljon että kone on +EV ja tiedettäisiin yhden pelikierroksen odotusarvo. Miten tällaisessa tilanteessa panos tulisi laskea?

Eli sulla on sanotaanko 105% palauttava hedelmäpeli ja sinä mietit paljon pitää panostaa että voitat? Et kai sinä voi yksittäisiä kirsikkacomboja alkaa poimimaan tuollaisessa tilanteessa?

Tässä ei varmaan moni muukaan ymmärrä ihan täysin mitä haet ellet kerro sitä käytännön juttua mihin yrität laskea panostuksia.

Gouden Carolus Classic on olut lasissa, kelvollista.

Kellyn kaavaa vastaava panos saadaan ko tilanteessa (sikali kun kysyja tarkoittaa yksinkertaisesti tilannetta jossa vedon mahdollisia tulemia on enemman kuin kaksi) maksimoimalla logaritmista hyotyfunktiota eli vastauksena ohjelmaan

max_s E( ln(A*(1+rs)))

jossa s on panoksen osuus pelikassasta, A on alkukassa (jolla ei ole vastauksen kannalta merkitysta), ln on luonnolinen logaritmi, E on odotusarvo-operaattori, ja r on satunnaismuuttuja joka kuvaa kunkin mahdollisen tuleman tuottoa. Yksinkertaisessa vedossa siis r=-1 jos veto haviaa ja r=kerroin-1 jos veto voittaa.

Valttamaton ehto maksimille on

E(r/(1+rs)) = 0

josta voi helposti johtaa Kellyn kaavan yksinkertaiselle vedolle, jossa on vain kaksi mahdollista tulemaa. Monimutkaisemmissa tapauksissa on yleensa tarpeen ratkaista panos numeerisesti joko suoraan maksoimalla tavoitefunktiota tai kayttamalla valttamatonta ehtoa.

Huomaa kuitenkin, etta usein samasta tapahtumasta on tarjolla useita eri vetoja tai vetomuotoja. Talloin panokset tulisi ainakin periaatteessa ratkaista kaikkiin vetoihin yhdenaikaisesti kayttamalla samaa periaatetta: maksimoi logaritmista hyotyfunktiota (numeerinen ratkaisu yleensa tarpeen).

Piirsin vielä käppyrän avuksi havainnollistamaan. Sainkin jo yhden kaavan, kiitos siitä ja alan sitä jossain vaiheessa funtsimaan.

Panos on siis 1 yksikkö. Suurin mahdollinen voitto tässä vedossa on reilut 160 yksikköä ja sen todennäköisyys noin 2 promillea. Tässä esimerkissä lopun voitot on niin isoja että odotusarvo on plussalla. Tälle siis pitäisi löytää optimipanos suhteutettuna tietenkin omaan kassaan.

Maanantai on rauhallinen vetopäivä, niin nyt ehtii tähän asiaan syventymään. Hommahan on sikäli selvä, että kassan kasvusta pitää tehdä funktio. Sen maksimiarvo on luonnollisesti derivaatan nollakohdassa

koi kirjoitti:Kellyn kaavaa vastaava panos saadaan ko tilanteessa (sikali kun kysyja tarkoittaa yksinkertaisesti tilannetta jossa vedon mahdollisia tulemia on enemman kuin kaksi) maksimoimalla logaritmista hyotyfunktiota eli vastauksena ohjelmaan

max_s E( ln(A*(1+rs)))

koi:n vastaus on osittain sitä mitä hain. Eli Kellyn kaava on käytännössä johdos (hyötyfunktiosta?) pelille, missä on kaksi erilaista lopputulosta, kuten urheiluvedonlyönnissä. Englanniksi aiheesta löytyy matskua ja wizard of odds kirjoittaa aika samaa mitä koi:

"For simple bets that have only two outcomes, the optimal Kelly bet is the advantage divided by what the bet pays on a "to one" basis. For bets with more than one possible outcome, the optimal Kelly wager is that which maximizes the log of the bankroll after the wager. However, for bets with more than one outcome, that can be hard to determine. Most gamblers use advantage/variance as an approximation, which is a very good estimator. For example, if a bet had a 2% advantage, and a variance of 4, the gambler using "full Kelly" would bet 0.02/4 = 0.5% of his bankroll on that event. Remember that variance is the square of standard deviation."

_Iletus_ kirjoitti:niin miten panostuksen suuruutta kannattaisi lähteä estimoimaan?

Tuossa WOO:n tekstissä tuleekin ilmi yksi mahdollinen menetelmä, miten panosta voi arvioida. Vedon odotusarvo jaettuna varianssilla, mikäli oikein ymmärsin. Tämä on melko helppo estimointi. Sen lisäksi itselleni tuli mieleen vielä yksi keino jonka pätevyydestä haluaisin arviota.

Oletetaan, että vedon etu pelaajalle on 2 %. Pelaaja häviää panoksen 80% kerroista. Tällöin yhdistelmien, joissa saadaan jotain palautusta, keskimääräinen kerroin on 5,2. Tämän pystyisi syöttämään kyllä peruskellyyn. Tässä lähinnä mietin, sitä että arvothan voivat erilaisissa tilanteissa hajota tuosta 5,2:sta jonkin verran. Tosin jos hajonta kasvaa merkittävästi, kasvanee myös panoksen häviämisen todennäköisyys ja mikäli value oletetaan tällöin vakioksi, on keskimääräisen kertoimen kasvettava. Eikö tällöin kellyn kaava ottaisi tämän varianssimuutoksen huomioon?

Pääsen varmaan tämän kanssa pikkuhiljaa eteenpäin, mutta mikäli aihe ketään kiinnostaa, niin keskustellaan. Matemaatikot saa taas kommentoida mikäli näkevät tässä jotain virheolettamuksia, tai jos ei jotain turskista ymmärrä.

Tuon luvun voi hakea kokeilemalla. Aloita katsomalla, mikä mikä olisi pelikassan logaritmin odotusarvo, jos panostat kohteeseen prosentin kassasta. Jos se on suurempi kuin panostamalla nolla, kokeile seuraavaksi kahta prosenttia, jos ei, kokeile puolta prosenttia jne.

Olen kyllä erimieltä tuon lontoonkielisen tekstin kanssa siitä, että numeerisesti tarkka ratkaisu olisi vaikea löytää jos vain tietokone on käytössä. Toisaalta jos tietokonetta ei ole käytössä voi noiden odotusarvojen ja varianssienkin laskeminen käytännössä olla vähän työlästä. Esimerkiksi Excelin solver add-in löytää vaikkapa funktion E(r/(1+rs)) nollakohdan käden käänteessä. Alla toisaalta python-koodi joka ratkaisee saman nollakohdan yhdessä esimerkissä:

from scipy import optimize
import numpy as np
probs = np.array([0.5, 0.5])
rets = np.array([-1.0, 1.2])
res = optimize.root(lambda x: np.array([np.dot(probs, rets/(1.0 + x[0]*rets))]), np.array([0.0]))
print res.x[0]

Yhteensä kuusi riviä joista vain yksi tekee mitään triviaalista poikkeavaa. Jos tässä nyt on kyse siitä että pitää jonkin korttipöydän tms. takana päässä laskea niin mieti toki kaikin mokomin sopivia approksimaatioita, mutta muussa tapauksessa se lienee turhaa.

Viimeinkin pääsin tätä aihetta vähän kokeilemaan excelillä, joten palailen tähän. Tyhmä kun on, niin koi:n kaava ei heti auennut, meni hetki aikaa ennen kuin sain pelikassan funktion oikein, mutta kyllä sekin aukeni. Solverilla tosiaan helppo ratkaista optimipanos jos koko ns. voittotaulukko on tiedossa, ja keksin kokeilua varten sellaisen itse.

Kokeilin tilannetta, jossa peli on voimakkaasti +EV, EV oli 1,65, mutta se syntyi suurimmaksi osaksi isokertoimisista epätodennäköisistä voitoista. Lisäksi vertailin tulosta approximaatioon, jossa laskin EV:n ja koko panoksen häviämisen todennäköisyyden perusteella keskimääräisen kertoimen. Eli siis, jos panosta ei hävitä, voitetaan keskim. kerroin 1-p(loss) todennäköisyydellä. Tämä approximaatio näytti vaarallisen huonolta. Sain solverilla optimipanokseksi 0,009, kun approximaatio näytti Kellyn kaavalla 0,06. Pitää vielä tarkistaa laskut, mutta näyttäisi olevan oikein

Ongelma on se, että käytännössä on mahdollista saada tietoon vain EV, koko panoksen menettämisen todennäköisyys ja tietoa varianssista, mutta ei koko voittotaulukkoa. Oikeassa elämässä kerroinjakauma toki noudattaa lähes normaalijakaumaa, joka häntii pitkälle isojen voittojen puolelle. Kunnollista approximointimenetelmää ei siis vielä ole hallussa, tällaisiin tilanteisiin. Joka tapauksessa, oman rollin perusteella on hyvä tietää panostaso joka on suht turvallinen, eli riittävän alipanostus, jolloin pelikassaan pitäisi tulla kasvua. Mutta erilaisten tilanteiden keskinäiseen panostukseen tästä ei silti saa oikein vastausta.

Joka tapauksessa pakko hehkuttaa sen verran, että koko asian, eli pelikassan kasvun riippuminen voimakkaasti panoksesta on varmaan hienoimpia asioita, jonka oppi todella viime vuonna ymmärtämään. Tästä lienee hyötyä kaikkialla, missä todennäköisyyksien ja odotusarvojen kanssa pelataan. Vieä tietoa ei tietenkään hirveästi ole, kun en kunnolla osaa tehdä simulaatioita erilaisista skenaarioista, mutta pitää opetella ja kokeilla mahdollisimman paljon.

Kiitoksia kaikille, jotka potki tässä alkuun.

Palataas asiaan, kun nyt tökkii.

Rakennan kerroinjakaumaa tämmöisestä tosielämästä otetulla tilanteella. Ongelma on nyt se, että en ole täysin varma matemaattisesta puolesta. Googlettelin hieman englanninkielistä matskua ja olin ymmärtävinäni mutta varmistan täältä. Toivottavasti joku ymmärtää meikän kysymyksen.

Eli pelataan kahta erilaista peliä. Ensiksi pelataan peli, jossa odotusarvo on miinuksen puolella. Kerrointaulukko on normaalijakautunut parametrein KA=-783€ STD= 654€. Suurin tappio voidaan sopia vaikka -4500 euroon.

Tämän lisäksi pelataan erillistä täysin ensimäisestä tapauksesta riippumatonta peliä. Sen kerrointaulukko on normaalijakautunut KA= 1920€ STD=278€. Tässä pelissä minimivoitto on 0€, eli negatiivisen puolelle ei ole mahdollista mennä

Nyt haluaisin yhden jakauman kun peli 1 ja 2 on pelattu. Miten tämä tehdään? Onko oikein, että lasketaan keskiarvot sekä hajonnat yhteen ja tehdään näin uusi normaalijakauma, joka kertoo meille todennäköisyydet voittaa eri summia kun molempia pelejä on pelattu. Vai onko tämä väärä tapa?


Toinen asia, mikä tässä kusi on pelikassan mallinnus yhden tällaisen yhdistetyn pelikierroksen jälkeen. En ole siis täysin varma ymmärsinkö sittenkään koi:n antamaa kaavaa. Nimittäin oma laskentani väitti, että mitä enemmän panostaa, sitä enemmän pelikassa kasvaa. Vaikka olin kyllä validoinut oman simulaattorini tekemällä yksinkertaisia kahden kohteen taulukoita ja vertaamalla niitä kellyn kaavaan. Sain aina saman tuloksen excel-solverilla.

Eli muodostin pelikassan logaritmisen funktion jokaisessa kerroinjakauman pisteessä näin: E*ln(1+r*s), missä E on kyseisen kertoimen pistetodennäköisyys, r on kerroin ja s on panos. Lopuksi laskin summan näistä pelikassan logaritmisista arvoista jokaisesta pisteestä. Summa on niin raakasti plussalla syystä tai toisesta, ettei panoksen optimointisimulaattori enää toimi. tämän mukaan 0,99 voi pelikassasta huoleti panostaa.

Saa nähdä ymmärsikö kukaan, mutta toivotaan apua pistetään kuvakin selventämään hieman. E:termi TN*kerroin ei ole mukana ln(pelikassa):n laskemisessa. Se nyt vaan on tuolla kohdalla.

Pelikassan funktion pitäisi varmaankin olla:
E * ln(1+ (r - 1) * s) + (1 - E) * ln(1 - s)

Tappiopuoli puuttui siis kokonaan.

Peli 1 ja 2, jos unohdetaan tappioehto (tuskin vaikuttaa pyöristettyihin tuloksiin):
KA = 1920 - 783 = 1137
STD = sqrt(654^2 + 278^2) = 711

Pepe kirjoitti:Pelikassan funktion pitäisi varmaankin olla:
E * ln(1+ (r - 1) * s) + (1 - E) * ln(1 - s)

Tappiopuoli puuttui siis kokonaan.

Tappiopuolihan on nimenomaan tuossa mallinnettu? Kuvassakin näkyy tappiopuolta, eli todennäköisyys hävitä koko panos (-1) ja siitä laskettu ln(pelikassa) arvo, kun tuon vaihtoehdon tn otetaan huomioon. Eikö koko pelikassan funktion pitäisi olla näiden jokaisesta pisteestä lasketun arvon summa? Ainakin näin tuo laskuri toimi kahden vaihtoehdon peleissä, millä sitä testasin; sain aina kellyn kaavan mukaisen vastauksen. En oikein ymmärrä mistä sinun kaavassasi tulee tuo 1-E? Kun mulla on tässä pelissä 9000 erilaista mahdollista kerrointa. Näiden kerrointen todennäköisyyksien summa on 1, joten mistä tuo 1-E tulee? Mutta tosiaan jossain minulla on vikaa, joten mietin tätä vielä jos ehdin.

Peli 1 ja 2, jos unohdetaan tappioehto (tuskin vaikuttaa pyöristettyihin tuloksiin):
KA = 1920 - 783 = 1137
STD = sqrt(654^2 + 278^2) = 711

Juu kiitos tästä. Näin olen myöhempään versioon korjannut. Normaalijakaumassahan nimenomaan on parametrinä varianssi mut excelissä syötetään STD.

En ollut tarkkana ja mun kaava oli kahden vaihtoehdon peliin, jossa 1-E on tappiopuoli.

Koitapa korjata kaavastasi r -> r-1. Toimiiko sitten?

Tuossa kerroinmuoto sarakkeessa luvut on valmiiksi r-1

Okei.

Eikö esim. toisella rivillä Excel-kuvassa ln(pelikassa) pitäisi olla ln(1-0.99978 * 0.99) = -4.58?

Miten siis tuo ln(pelikassa) tuossa tulee? Tn jo mukana?

Pelikassan funktio yksittäisen kertoimen kohdalla on

Tn*ln(1+Kerroin*panos)

Oikealle vaikuttaa kaavat.

0.99 ei kuulosta mahdottomalta panokselta, jos peli on reilusti plussalla EV:ltä ja esim. 95%:n tn:llä voitollinen ja 99.9%:lla vähintään puolet kassasta säilyttävä.

Panoksella 1 logaritmisummasta pitää tulla 'miinus ääretön' johtuen ensimmäisestä rivistä. Jos sen nyt oikein ymmärsin...