Kellyn kaavan todistus

[cpsof95]

Vedonlyöntigurut on kautta aikojen julistanu Kellyn kaavan nimeen. Mitään todistusta kaavan ylivertasuudesta en oo kuitenkaan löytäny. Tänään löysin lopulta Kellyn kirjottaman artikkelin, jonka perusteella sain vihdoinki todistettua Kellyn kaavan.

Tässä teille algebraa:

V(0) = alkukassa
V(n) = pelikassa n:n pelin jälkeen
p = voittotodennäköisyys
q = 1-p = tappiotodennäköisyys
k = kerroin
r = k-1 = nettovoiton suuruus suhteessa panokseen
a = panoksen osuus pelikassasta

Eli voiton jälkeen pelikassa olisi V(n+1)=(1+ka)*V(n).
Ja tappion jälkeen: V(n+1)=(1-a)*V(n)

Pelataan n kpl pelejä (kaikissa sama p ja k), joista w kpl päättyy voittoon ja l kpl tappioon. Pelikassa on tämän jälkeen

V(n)=(1+ra)^w*(1-a)^l*V(0)

riippumatta voittojen ja tappioiden järjestyksestä (johtuu kertolaskun vaihdannaisuudesta).

Määritellään "hatusta vedetty" muuttuja G seuraavasti:

G=lim(n->ääretön) 1/n * ln (V(n)/V(0))

=lim(n) [ w / n * ln (1+ra) + l / n * ln (1-a) ]

=p * ln (1+ra) + q * ln (1-a)

Eli tässä G kuvaa pelikassan logaritmista kasvua. Mitä suurempi G, sitä nopeammin kassa kasvaa. Tästä eteenpäin Kellyn artikkeli ei kaavaa jostain syystä johtanut, joten piti mennä itse sorvin ääreen...

G pitää sisällään logaritmin pelikassan suhteellisesta kasvusta. Koska logaritmi on aidosti kasvava funktio, etsimällä logaritmin maksimi saadaan myös suhteellisen kasvun maksimi. Eli pitäisi siis maksimoida G muuttamalla a:ta. Ei muuta kuin derivoimaan...

dG/da=G'=pk/(1+ra)-q/(1-a)=0

Saadaan yhtälö, josta voidaan melko helposti ratkaista a.

Pienellä pyörittelyllä saadaan: qra+pra=-q+pr

Sijoitetaan q=1-p, ja saadaan: a=(p+pr-1)/r

Sijoitetaan vielä r=k-1, mistä seuraa: a=(p+p(k-1)-1)/(k-1)

=> a=(p+pk-p-1)/(k-1)

=> a=(pk-1)/(k-1)

Tämä suhteellinen panos pelikassasta on siis paras mahdollinen panos, jos peliä toistetaan äärettömän monta kertaa kertoimella k ja voittotodennäköisyydellä p. Todellisuudessa jokainen peli on tietenkin ainutkertainen, mutta periaatteessa jokainen yksittäinen peli voidaan ajatella äärettömän pitkän pelisarjan ensimmäiseksi peliksi. Hieman ontuu tämä todistelu, mutta enpä taida enää jaksa lähteä todistelemaan tätä sen kummemmin. Jos joku tällä jaksaa päätään vaivata, niin saa vapaasti yrittää.

Tässä vielä artikkeli, jonka avulla sain tän todistuksen väsättyä:
http://www.racing.saratoga.ny.us/kelly.pdf (ei liity ihan suoraan vedonlyöntiin, vaan johonki tiedonsiirtoon)[/b]

[cpsof95]

Pienellä pyörittelyllä, jota en nyt jaksa tähän enää laittaa, saadaan kassan keskimääräiseksi kasvuksi peliä kohden:

c=e^G=(1+(k-1)*a)^p*(1-a)^(1-p)

Otetaan vaikkapa esimerkkitapaus p=0,4 ja k=2,70.

Kellyn kaava antaa a=0,047.

Tällöin saadaan c=1.0019, eli pitkällä aikavälillä kassa kasvaa keskimäärin 0,19% peliä kohden. 10:ssä pelissä kasvua kertyy 1,9%, 100:ssa pelissä 20,5% ja 1000:ssa pelissä 544%.

Tässä muutama muu kasvulukema muilla panostasoilla ja tulos 100 pelin jälkeen:
a=0,01 - c=1,0007 - 7,4%
a=0,02 - c=1,0012 - 13,3%
a=0,03 - c=1,0016 - 17,6%
a=0,04 - c=1,0018 - 20,0%
a=0,05 - c=1,0019 - 20,4%
a=0,07 - c=1,0014 - 15,4%
a=0,10 - c=0,9996 - -4,1% !
a=0,15 - c=0,9934 - -48,6% !!
a=0,20 - c=0,9833 - -81,4% !!!

Eli sinänsä loistavan ylikertoimen ylipanostaminen tekee koko pelin tappiolliseksi! Etkö usko? Pelataanpa tätä peliä 50 kertaa 15%:n panoksella. Voittoja tulee täysin odotusten mukaisesti 20 kertaa ja tappioita 30 kertaa.

Jokainen voitto kasvattaa pelikassan (1+(2,7-1)*0,15)=1,255-kertaiseksi. Vastaavasti jokainen tappion jälkeen kassa on (1-0,15)=0,85-kertainen. Laitetaan 20 voittoa ja 30 tappiota nippuun:

1,255^20*0,85^30=0,719 !!!

Kelly-panoksella 4,7% saadaan:

1,0799^20*0,953^30=1,098.

Jos kyseisen kohteen kerroin olisi vain 2,55, ja tahkotaan sokeasti 2%:n panoksia (kelly->1,3%), saadaan:

1,031^20*0,98^30=1,0045 (100 pelin jälkeen tuotto olisi 56,9%)

Kelly antaisi 1,02015^20*0,987^30=1,0065 (100 pelin jälkeen 90,3%).

Eli kertoimella 2,70 Kelly käskee pistämään 4,7% likoon, mutta kertoimella 2,55 vain 1,3%. Kahden prosentin tasapanostaja jää kauas taakse. 100 peliä kertoimella 2,70 ja 100 peliä kertoimeilla 2,55 antaa 2%:n tasapanoksilla tuoton 77,8%. Kellyllä saadaan 129,3%!

[Berrie]

Pakko sanoa että komea avaus uusimmalta tulokkaalta. Suorastaan päivän tulokas arvonimen ansaitseva, ehkä pitemmältäkin ajalta.

Pitää kyllä joskus ihan ajan kanssa lukea. Jatka samaan malliin. 8)

[JussiQ]

Jep! Ehdottoman hienoja tutkimuksia olet tosiaan ehtinyt kirjoittamaan vain yhden päivän aikana! Hienoa 8)

[Mamba]

Mä olen pohtinut Kellyn kaavan olemusta päinvastaisesta näkökulmasta, mutta vielä on jäänyt aika paljon epäselväksi.

Kellyn kaavahan tarkoitettu nimenomaan tuoton maksimoimiseksi absoluuttisen oikeilla todennäköisyyksillä. Mitenkäs siinä tapauksessa lasketaan maksimituottoon johtava panoskoko jos oletetaan, että todennäköisyysarviot eivät olekaan absoluuttisen oikeita, vaan ne heittävät keskimäärin vaikkapa muutaman prosentin?

Kysymys toisinpäin:

Jos lasketaan vaikkapa tuhannen vedon sarjasta jo pelattuja vetoja niille vedoille optimaalinen kellyjakaja, niin voidaanko tehdä päätelmä, että mitä lähenpänä yhtä optimaalinen kellyjakaja on, sitä paremmat todennäköisyysarviot?

[cpsof95]

Vastauksia Mamballe...

1) Oikein, Kellyn kaavassa oletetaan nimenomaan, että tn-arviot ovat absoluuttisen oikeita. Eikä omien tn-arvioiden virhemarginaalin arviointi onnistu ihan helposti. Tietysti voi kokeilla vähentää omista arvioista pari prosenttiyksikköä, tai paremminkin kertoa omat tn-arviot jollain ykköstä pienemmällä luvulla, jotta suhteellinen korjaus kaikkiin arvioihin olisi yhtä suuri.

Eli vaikkapa 5%:n korjauksella arviosta 40-25-35 tulisi 38-24-33. Tätä tarkempiin arvioihin varmaankin pystyy vain muutama harva fakiiri tällä planeetalla.

2) Olipas mielenkiintonen toi toisinpäin käännetty kysymys! Kellyn kaava ilman mitään jakajia on siis paras mahdollinen panostaso, jos tn-arviot ovat absoluuttisen oikeita.

[mutu]Jos pelattujen vetojen optimaalinen Kelly-jakaja on ykköstä suurempi, eivät ylikertoimet ole olleet niin hyviä kuin oli arvioitu. Jos Kelly on ykköstä pienempi, on ylikertoimet osunu kohalleen arvioitua paremmin.[/mutu]

[Mamba]

Tuli tossa mietittyä vähän lisää.


Jos esimerkiksi vedon todennäköisyydeksi arvioidaan 50% ja vedon todellinen todennäköisyys onkin 48% ja buukkeri tarjoaa kertoimen 2,20 niin tällöinhän kellyn kaavalla ilman jakajaa sorrutaan ylipanostukseen. Kellyn mukaan pitäisi panostaa 8,33% pelikassasta kun optimaalinen panoskoko olisikin 4,67% pelikassasta. Eli kyseisen vedon optimaalinen kellyjakaja olisi 8,33%/4,67% = 1,78.

Eli periaatteessa pitkässä sarjassa vetoja optimaalisen kellyjakajan pitäisi olla >1 jos/kun absoluuttisia todennäköisyyksiä ei ole käytössä.

Toisaalta hyvän tuurin ansiosta voidaan lyhyissä sarjoissa vetoja saada optimaaliseksi kellyjakajaksi <1.

Matemaattisesti hyvä tuurihan tarkoittaa, että palautusprosentti on suurempi kuin panoskokojen mukaan painotettujen vetojen odotusarvojen keskiarvo ts. osuneita vetoja on tullut enemmän kuin niitä teoriassa "olisi pitänyt" tulla.

Huono tuurihan tarkoittaa pitkässä sarjassa samaa kuin huonot todennäköisyysarviot.

[cpsof95]

Entäpä jos olet arvioinut tn:ksi 50%, vaikka "oikea" tn on 48%. Tarjolla olisi kerroin 2,05. Kelly 50%:n arvioilla käskee laittamaan 2,4%, kun taas 48% arviolla Kelly sanoo -1,5%. Eli kyseessä olisi alikerroin. Kellyn jakajalla oletetaan, että "kyllähän mun arviot on ihan hanurista, mut se on silti ylikerroin".

Jakamalla prosenttiarvioita ei lähdetä olettamaan ylikertoimista mitään. Tää vaikuttais paremmalta tavalta, koska eihän niillä kertoimilla oo välttämättä mitään tekemistä niiden prosenttiarvioiden kanssa, niin miks niitä arvioita pitäis viilata ja höylätä kertoimien mukaan.

[Mamba]

Joo, kyllä mä ymmärrän mitä sä haet takaa.

Eli jos käytetään 0,xx kertaisia arvioita, niin silloinhan pitäisi myös pitkässä sarjassa olla mahdollista, että optimaalinen kellyjakaja olisi alle 1.

Toisaalta omien todennäköisyysarvioiden virhemarginaalin suuruuden voisi saada selville etsimällä millä 0,xx-kertoimella aiemmin pelattujen vetojen optimaalinen kellyjakaja on lähinpänä yhtä. Tämä vaatii tietysti suurta otosta.

Siis toi 0,xx-kerroin on se, jolla kerrotaan omat todennäköisyysarviot.

[Oliver]

Sportsdiscover.comin sivuilta saatavassa kirjanpidossa on käytetty kellyn kaavassa todennäköisyytenä kaavaa

reliability * probability + (1 - reliability) * 0,955 * booker's probability.

Tuo vaikuttaa mielestäni erinomaiselta. Tuossa siis:

-reliability on luku väliltä 0-1: mitä suurempaa lukua käyttää, sitä enemmän luottaa omiin arvioihinsa.

-probability on oma tn -arvio.

-0,955 on bookkeripoolin keskimääräinen palautusprosentti. Toihan voi olla nyt vetopörssien aikaan jo lähempänä 100:aa.

-booker's probability on bookkerin kertoimen käänteisluku.

Idea on siis se, että omaa todennäköisyyttä verrataan sellaiseen todennäköisyyteen, joka kerrottuna luvulla 0,955 oletetaan olevan markkinoiden määräämä todennäköisyys tapahtumalle.

EDIT: fixailua.

[cpsof95]

Tutkailinpa tässä vähän, että millä tavalla väärät arviot tekee tuhoa kassalle. Eli Kelly-panos edelleen kertoo, mikä on paras panos suhteessa pelikassaan, jos tiedetään tarkka todennäköisyys. Käytännössä oon kans huomannu, että pelaaminen muuttuu tappiolliseks, jos käytetään panosta, joka on suurempi kuin kaks kertaa Kelly-panos. (Tää ei oo ihan eksakti, mutta pätee hyvin pienillä alle 10% panoksilla.)

Käännetäänpä siis tilanne toisin päin. Eli miten pahasti prosenttiarvion pitää heittää, että tulee pelattua tuplapanoksella? Olkoon pelin oikea osumistn p. Tn-arvio on q ja kerrointa k vastaava tn on r=1/k.

Arviolla q panos: (qk-1)/(k-1)
Oikea panos: (pk-1)/(k-1)

Milloin q:n panos on kaksinkertainen verrattuna oikeaan panokseen?

((qk-1)/(k-1)) / ((pk-1)/(k-1)) = 2

(qk-1)/(pk-1)=2

Veivataan vähän ja saadaan:

q=2p-1/k=2p-r=p+(p-r)=p+d

Tässä siis d kuvaa todellisen osumistn:n ja kerrointa vastaan tn:n erotusta.

Esimerkki selventänee...

k=2,00 => r=0,50
p=0,55
d=0,05

=> q=0,55+0,05=0,60

Eli jos tässä tapauksessa tulee sössittyä ja arvioitua tn:ksi esim. 62%, ja sitten panostettua sen mukaisella kelly-panoksella, niin metsään mennään. Käyttämällä esim. Kelly-jakajaa 2, suojaudutaan tältä riskiltä. Itse asiassa Kelly-jakaja 2 on optimaalinen, jos oletetaan, että oikea tn on likimain kerrointa vastaavan tn:n ja oman arvion puolivälissä.

[Ruud]

Niin kumpi pelasit, suosikki vai altavastaaja joka tässä tapauksessa lienee olla < 20% ja kerroinmuutokset sen mukaiset.

[cpsof95]

Noi %-lukemat siis vastaa pelattavan merkin tn-arvioita. Eli päälle 50%:n lukemille kyse lienee suosikista.

[MoneyBaron]

Kellyn kaavan ongelman(oletus tarkoista tn.:stä) ratkaisuksi(?) on olemassa Pineryn kaava, jossa mukaan panoslaskentaan on otettu turvamarginaali so. heitto tn-arvioissa.

b=(-1/(((1-b+kb)/(1-b))^(p-e)))+1

b= panos, % pelikassasta
k= tarjottu kerroin,
p= arvioitu osumistodennäköisyys
e = turvamarginaali % (esim. 0,05).

Kaavan ideana on varmistaa pelikassankasvu. Tämä toteutuu jos oikea todennäköisyys on suurempi kuin p-e. Käytännöllisia ongelmia kaavan soveltamisessa tietysti aiheuttaa iterointi. b:n alkulukuna siinä voinee käyttää lukua 0,01.

[cpsof95]

Ohhoh! Satutko tietämään mitään sopivaa tekstiä, missä ois perusteltu tota jotenki?

Joo, täytyy perehtyä tohon tarkemmin huomenna, kello on jo liian paljon tollaseen...

[Oliver]

b=(-1/(((1-b+kb)/(1-b))^(p-e)))+1

b= panos, % pelikassasta
k= tarjottu kerroin,
p= arvioitu osumistodennäköisyys
e = turvamarginaali % (esim. 0,05).

Nyt en ymmärrä mitään. Eikös toi (p-e) kannattaisi olla (p-p*e)?

Jos turvamarginaali on 0, niin panossuositus olisi esim kertoimella 2.20 ja todennäköisyydellä 0.5 16%, vaikka kellyllä saadaan 8.33%?

Voisitko vääntää tyhmälle rautalangasta, että miten tota käytetään? Ja varmistaa, että toi kaava on todellakin oikein tossa.

EDIT:
Jahas, minuutilla myöhästyin...

[Mamba]

Mäkin testailin tota Pineryn kaavaa ja huomasin, että 0-marginaalilla panossuositus on

2 * Kelly, kun tn = 50%
<(2 * Kelly), kun tn > 50%
>(2 * Kelly), kun tn < 50%.

Hurjia panoskokoja tulee ilman jakajia. Vaikea uskoa että tolla ylipanostamista ehkäistään.

[Mamba]

Testailin piirtämällä laskimella käppyröitä tosta Pineryn kaavasta, kun ei maalaisjärki riittänyt tajuamaan noita potenssihirviöitä.

b:n funktiot näyttää kolmannen asteen yhtälöiltä joilla on kaksi derivaatan nollakohtaa odotusarvon ollessa yli 1. Virhemarginaalin ollessa 0 alempi derivaatan nollakohta on sama kuin kelly.

Eli vaikuttaisi siltä, että Pineryn kaava on saatu integroimalla Kellyn kaava ja ymppäämällä siihen virhemarginaali, josta on aiheutunut toi desimaalilukuinen potenssihirviö.

Voisko tolla Pineryn kaavalla saada sitten laskettua panoskoon, jolla pelikassa pysyy pitkässä juoksussa vakiona(olettaen, että kaikki vedot ovat ylikertoimia)?

[hte]

Muutamia vuosia sitten tein systeemisivun, jossa käsitellään myös näitä panosasioita. Sieltä löytyy muutama valmis esimerkkikaavio, jolla tuo ylipanostamisen merkitys tulee selväksi.
Olen itse käyttänyt todennäköisyysarvioissa virhemarginaalia, jonka siis olen poistanut ennen panoskoon laskemista. Tämä virhe voi olla 2-4%.
Siis tuolta linkin sivun alaosista löytyy niitä kaavioita ja vähän kaavojakin.
http://personal.inet.fi/koti/harte/OHJE.HTM

[Tom Pinery]

Kaavaan kuuluu oleellisena osana Kellyleikkuri. Jos Pineryn kaava suosittaa pelattavaksi yli yhtä kellyä, niin sitten pelataan vain yhtä Kellyä.

Kaava siis takaa, että kassa on kasvu-uralla, jos absoluuttisen oikea todennäköisyys on suurempi kuin p-e. Jos abs tn on tasan p-e, niin kassa ei kasva, muttei laskekaan keskimäärin samanlaisilla vedoilla. Jos abs tn on pienempi kuin p-e, niin takkiin tulee pitkässä juoksussa.

Tom

[Mamba]

Kaavaan kuuluu oleellisena osana Kellyleikkuri. Jos Pineryn kaava suosittaa pelattavaksi yli yhtä kellyä, niin sitten pelataan vain yhtä Kellyä.

Kaava siis takaa, että kassa on kasvu-uralla, jos absoluuttisen oikea todennäköisyys on suurempi kuin p-e. Jos abs tn on tasan p-e, niin kassa ei kasva, muttei laskekaan keskimäärin samanlaisilla vedoilla. Jos abs tn on pienempi kuin p-e, niin takkiin tulee pitkässä juoksussa.

Tom

Eikös vedonlyönnissä kuitenkin oo tavoitteena saada pelikassa kasvamaan, eikä pysymään vakiona? Mä ainakin käsitän että tolla Pineryn kaavalla saadaan laskettua ylipanostusraja ja Kellyllä maksimituottoon tähtäävä panos.

Jos Kellyn kaavassa käyttää todennäköisyytenä p = p-p*e tai laskee todennäköisyyden noilla reliability-jutuilla, niin mä en ainakaan nää tolle Pineryn kaavalle käyttöä panoskoon laskennassa.

[cpsof95]

Itse oon joskus käyttäny systeemiä, jossa korotan arvioidun todennäköisyyden johonkin potenssiin.

Esim. arvioista 50-30-20 tulee potenssiin 1,05 korotettuna 48,3-28,2-18,5. Ja näillä arvioilla sitten haetaan ylikertoimia.

En oo kuitenkaan suuremmin käyttäny tota, koska toi vähentää pelattavia pelejä huomattavasti, ja todennäköisesti karsii joukosta selvästi enemmän selviä yli- kuin alikertoimia. Sanoisin, että on parempi pelata 10 ylikerrointa ja 1 alikerroin kuin vain 3 ylikerrointa.

[Mamba]

Sanoisin, että on parempi pelata 10 ylikerrointa ja 1 alikerroin kuin vain 3 ylikerrointa.

Ehkä, mutta noista kymmenestä ylikertoimesta tulee kuitenkin ylipanostettua osaan. Mutta nopeutuuhan tossa pelikassan kierto.

[cpsof95]

Mut senhän takia just sitä Kelly-jakajaa käytetään, ettei tulis niin helposti niitä ylipanostuksia. Huomasin silloin jokunen viikko sitten, kun tutkailin näitä panostusasioita, että tuplaamalla Kelly-panos jäädään melko lailla nollatulokseen. Eli jos omat tn-arviot antaa kaks kertaa liian suuren panostuksen, niin Kelly-jakajalla 2 saadaan optimaalinen panostus. Ja monet taitaa käyttää Kelly-jakajia 4-10, joten ylipanostuksen riski on melko lailla pieni.

[Mamba]

Mut senhän takia just sitä Kelly-jakajaa käytetään, ettei tulis niin helposti niitä ylipanostuksia. Huomasin silloin jokunen viikko sitten, kun tutkailin näitä panostusasioita, että tuplaamalla Kelly-panos jäädään melko lailla nollatulokseen. Eli jos omat tn-arviot antaa kaks kertaa liian suuren panostuksen, niin Kelly-jakajalla 2 saadaan optimaalinen panostus. Ja monet taitaa käyttää Kelly-jakajia 4-10, joten ylipanostuksen riski on melko lailla pieni.

Joo, mutta jos käyttää virhemarginaalia niin pärjää vähän pienemmällä kellyjakajalla ilman ylipanostusriskiä.

Kyllähän mäkin käytän Kellyjakajana noin viittä, mutta osittain myös sen takia että oon nykyään tosi varovainen pelaaja enkä tykkää suurista pelikassan romahduksista.